9. В треугольнике АВС угол C равен 90°, CH — высота, AB = 45, $$\sin A = \frac{1}{3}$$. Найдите длину отрезка BH.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: В прямоугольном треугольнике ABC, зная гипотенузу AB и синус угла A, найдем длину катета BC:
   $$\sin A = \frac{BC}{AB} \implies BC = AB \cdot \sin A$$.
   $$BC = 45 \cdot \frac{1}{3} = 15$$.
2. Шаг 2: Теперь найдем высоту CH, проведенную к гипотенузе. Воспользуемся формулой площади треугольника: $$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot CH \cdot AB$$.
   Для этого сначала найдем катет AC, используя теорему Пифагора: $$AC^2 = AB^2 - BC^2$$.
   $$AC^2 = 45^2 - 15^2 = 2025 - 225 = 1800$$.
   $$AC = \sqrt{1800} = \sqrt{900 · 2} = 30\sqrt{2}$$.
3. Шаг 3: Рассчитаем площадь треугольника:
   $$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 30\sqrt{2} = 225\sqrt{2}$$.
4. Шаг 4: Теперь найдем высоту CH, используя $$S = \frac{1}{2} \cdot CH \cdot AB$$:
   $$225\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot CH \cdot 45$$.
   $$CH = \frac{2 \cdot 225\sqrt{2}}{45} = \frac{450\sqrt{2}}{45} = 10\sqrt{2}$$.
5. Шаг 5: Рассмотрим прямоугольный треугольник CBH. Угол H равен 90°, гипотенуза CB = 15, высота CH = $$10\sqrt{2}$$. Найдем отрезок BH, используя теорему Пифагора: $$BH^2 = CB^2 - CH^2$$.
   $$BH^2 = 15^2 - (10\sqrt{2})^2 = 225 - (100 · 2) = 225 - 200 = 25$$.
6. Шаг 6: Извлекаем квадратный корень:
   $$BH = \sqrt{25} = 5$$.

Ответ: 5