9 В треугольнике АВС угол C равен 90°, СН — высота, AB = 50, sin A = 2/5. Найдите длину отрезка АН. Ответ:

Привет! Давай разберемся с этой геометрической задачкой.

Что нам дано:

• Треугольник ABC, угол C = 90° (это значит, что ABC — прямоугольный треугольник).
• CH — высота, проведенная из вершины C к гипотенузе AB.
• AB = 50 (это гипотенуза прямоугольного треугольника ABC).
• sin A = 2/5.

Что нужно найти:

• Длину отрезка AH.

Как будем решать:

1. Найдем длину катета BC.

   В прямоугольном треугольнике ABC, синус угла A определяется как отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB).

   
   

   Запишем формулу:

   
   

   \[ \sin A = \frac{BC}{AB} \]

   
   

   Нам известно, что sin A = 2/5 и AB = 50. Подставим эти значения:

   
   

   \[ \frac{2}{5} = \frac{BC}{50} \]

   
   

   Чтобы найти BC, умножим обе части уравнения на 50:

   
   

   \[ BC = \frac{2}{5} \times 50 = 2 \times \frac{50}{5} = 2 \times 10 = 20 \]

   Итак, длина катета BC равна 20.

2. Найдем длину катета AC.

   Мы можем найти длину катета AC, используя теорему Пифагора (a² + b² = c²) или используя косинус угла A.

   Сначала найдем cos A. Мы знаем, что sin² A + cos² A = 1. Отсюда cos² A = 1 - sin² A.

   
   

   \[ \cos^2 A = 1 - \left(\frac{2}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{25 - 4}{25} = \frac{21}{25} \]

   
   

   Тогда
   

   \[ \cos A = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5} \]

   
   

   Теперь найдем AC, зная, что
   

   \[ \cos A = \frac{AC}{AB} \]

   
   

   \[ \frac{\sqrt{21}}{5} = \frac{AC}{50} \]

   
   

   \[ AC = \frac{\sqrt{21}}{5} \times 50 = 10\sqrt{21} \]

3. Найдем длину отрезка AH.

   Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. Угол C равен 90°, CH — высота. Угол A в этом треугольнике такой же, как и в треугольнике ABC.

   В прямоугольном треугольнике AHC, синус угла A определяется как отношение противолежащего катета (CH) к гипотенузе (AC).

   
   

   \[ \sin A = \frac{CH}{AC} \]

   
   

   \[ \frac{2}{5} = \frac{CH}{10\sqrt{21}} \]

   
   

   \[ CH = \frac{2}{5} \times 10\sqrt{21} = 4\sqrt{21} \]

   Теперь мы можем найти AH, используя теорему Пифагора в треугольнике AHC (AH² + CH² = AC²):

   
   

   \[ AH^2 + (4\sqrt{21})^2 = (10\sqrt{21})^2 \]

   
   

   \[ AH^2 + 16 \times 21 = 100 \times 21 \]

   
   

   \[ AH^2 + 336 = 2100 \]

   
   

   \[ AH^2 = 2100 - 336 = 1764 \]

   
   

   \[ AH = \sqrt{1764} = 42 \]

   Альтернативный способ найти AH:

   В прямоугольном треугольнике ABC, AH является проекцией катета AC на гипотенузу AB. Есть формула, связывающая катет, его проекцию и гипотенузу:

   
   

   \[ AC^2 = AH \times AB \]

   Мы уже нашли, что AC = 10√21, и нам дано, что AB = 50.

   
   

   \[ (10\sqrt{21})^2 = AH \times 50 \]

   
   

   \[ 100 \times 21 = AH \times 50 \]

   
   

   \[ 2100 = AH \times 50 \]

   Теперь найдем AH, разделив 2100 на 50:

   
   

   \[ AH = \frac{2100}{50} = \frac{210}{5} = 42 \]

Ответ: 42