9 В треугольнике АВС угол C равен 90°, СН — высота, АВ = 100, sin A = 4. Найдите длину отрезка АН.

Для решения этой задачи используем свойства прямоугольного треугольника и тригонометрические соотношения.

1. Анализ данных: У нас есть прямоугольный треугольник \(ABC\) (угол \(C = 90^\circ\)), высота \(CH\), гипотенуза \(AB = 100\) и \(\sin A = \frac{4}{5}\).
2. Находим сторону BC: В прямоугольном треугольнике \(ABC\): \(\sin A = \frac{BC}{AB}\). Следовательно, \(BC = AB \cdot \sin A = 100 \cdot \frac{4}{5} = 80\).
3. Находим сторону AC: По теореме Пифагора в \(ABC\): \(AC^2 = AB^2 - BC^2 = 100^2 - 80^2 = 10000 - 6400 = 3600\). \(AC = \sqrt{3600} = 60\).
4. Используем высоту: Высота \(CH\) делит прямоугольный треугольник \(ABC\) на два подобных прямоугольных треугольника: \(ACH\) и \(CBH\).
5. Рассмотрим треугольник ACH: В прямоугольном треугольнике \(ACH\), угол \(C = 90^\circ\). Мы знаем \(AC = 60\) и \(\cos A\). Найдем \(\cos A\). Так как \(\sin A = \frac{4}{5}\) и \(A\) — острый угол, то \(\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}\).
6. Находим AH: В прямоугольном треугольнике \(ACH\): \(\cos A = \frac{AH}{AC}\). Следовательно, \(AH = AC \cdot \cos A = 60 \cdot \frac{3}{5} = 36\).

Ответ: 36