9. В треугольнике АВС угол C равен 90°, СН — высота, АВ = 80, sin A = 1/4. Найдите длину отрезка АН.

Краткое пояснение:

• Для нахождения длины отрезка АН, сначала найдем длину катета ВС, затем используем свойства высоты, проведенной к гипотенузе.

Метод:

• В прямоугольном треугольнике:
• sin A = BC / AB
• CH = (AC * BC) / AB
• AH = AC² / AB
• BH = BC² / AB
• AC² = AH * AB
• BC² = BH * AB

Пошаговое решение:

1. Найдем длину катета BC:
• sin A = BC / AB
• 1/4 = BC / 80
• BC = 80 * (1/4) = 20.
2. Найдем длину катета AC, используя теорему Пифагора:
• AC² + BC² = AB²
• AC² + 20² = 80²
• AC² + 400 = 6400
• AC² = 6400 - 400 = 6000.
3. Найдем длину отрезка AH:
• AC² = AH * AB
• 6000 = AH * 80
• AH = 6000 / 80 = 600 / 8 = 75.

Ответ: 75