9 Вероятность забросить мяч в корзину для баскетболиста равна 2/3. Сколько нужно сделать бросков, чтобы с вероятностью не менее 0,95 быть уверенным в том, что мяч хотя бы один раз окажется в корзине?

Решение:

Вероятность попадания в корзину при одном броске: \( p = \frac{2}{3} \).

Вероятность промаха при одном броске: \( q = 1 - p = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \).

Пусть \( n \) — количество бросков.

Вероятность того, что мяч ни разу не окажется в корзине за \( n \) бросков (то есть все \( n \) бросков будут промахами), равна \( q^n = \left(\frac{1}{3}\right)^n \).

Вероятность того, что мяч хотя бы один раз окажется в корзине за \( n \) бросков, равна \( 1 - q^n = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n \).

Нам нужно, чтобы эта вероятность была не менее 0,95:

\[ 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n \ge 0,95 \]

\[ \left(\frac{1}{3}\right)^n \le 1 - 0,95 \]

\[ \left(\frac{1}{3}\right)^n \le 0,05 \]

Чтобы найти \( n \), возьмем логарифм от обеих частей неравенства:

\[ \ln\left(\left(\frac{1}{3}\right)^n\right) \le \ln(0,05) \]

\[ n \ln\left(\frac{1}{3}\right) \le \ln(0,05) \]

\[ n (\ln(1) - \ln(3)) \le \ln(0,05) \]

\[ n (0 - \ln(3)) \le \ln(0,05) \]

\[ -n \ln(3) \le \ln(0,05) \]

Так как \( -\ln(3) \) отрицателен, при делении на него знак неравенства меняется:

\[ n \ge \frac{\ln(0,05)}{-\ln(3)} \]

\[ n \ge \frac{-2,9957}{-1,0986} \approx 2,726 \]

Поскольку количество бросков должно быть целым числом, и нам нужно, чтобы вероятность была *не менее* 0,95, округляем в большую сторону.

Ответ: 3