9. Вершины четырёхугольника АВСД имеют следующие координаты: А(−3; −1), В(1; 2), С(5; −1), Д(1; −4). Докажите, что этот четырёхугольник — ромб. Найдите периметр ромба АВСД.

Найдём длины сторон по формуле расстояния между точками.

\(AB=\sqrt{(1-(-3))^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\).

\(BC=\sqrt{(5-1)^2+(-1-2)^2}=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5\).

\(CD=\sqrt{(1-5)^2+(-4-(-1))^2}=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=5\).

\(DA=\sqrt{(-3-1)^2+(-1-(-4))^2}=\sqrt{(-4)^2+3^2}=5\).

Все четыре стороны равны: \(AB=BC=CD=DA=5\). Следовательно, четырёхугольник является ромбом.

Периметр ромба:

\(P=4\cdot5=20\).

Ответ: АВСД — ромб; его периметр равен 20.