9. Задача на тему «Свойства прямоугольных треугольников». Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. Найти гипотенузу треугольника.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°. Пусть угол B = 60°, тогда угол A = 180° - 90° - 60° = 30°.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. В нашем случае, это катет BC (лежащий напротив угла A = 30°).

Пусть гипотенуза AB = $$c$$, а меньший катет BC = $$a$$. Тогда $$a = \frac{1}{2}c$$.

По условию, сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см:

$$c + a = 26.4$$

1. Подставим значение $$a$$ через $$c$$:
• $$c + \frac{1}{2}c = 26.4$$
2. Решим уравнение:
• $$\frac{3}{2}c = 26.4$$
• $$c = 26.4 \times \frac{2}{3}$$
• $$c = \frac{52.8}{3}$$
• $$c = 17.6$$

Проверка:

Гипотенуза $$c = 17.6$$ см.

Меньший катет $$a = \frac{1}{2} \times 17.6 = 8.8$$ см.

Сумма: $$17.6 + 8.8 = 26.4$$ см. Условие выполняется.

Ответ: Гипотенуза равна 17.6 см.