92. Найдите значение выражения: 1) √75 · 27; 2) √72 · 200; 3) √1,6 · 14,4; 4) √1690 · 6,4.

Задание 92: Свойства арифметического квадратного корня

1) \( \sqrt{75 \cdot 27} \)

Разложим числа на множители, чтобы упростить извлечение корня:

\[ 75 = 25 \cdot 3 \]

\[ 27 = 9 \cdot 3 \]

Теперь подставим в выражение:

\[ \sqrt{75 \cdot 27} = \sqrt{(25 \cdot 3) \cdot (9 \cdot 3)} = \sqrt{25 \cdot 9 \cdot 3 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 9 \cdot 9} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{9} = 5 \cdot 3 \cdot 3 = 45 \].

Ответ: 45

2) \( \sqrt{72 \cdot 200} \)

Разложим числа на множители:

\[ 72 = 36 \cdot 2 \]

\[ 200 = 100 \cdot 2 \]

Подставим:

\[ \sqrt{72 \cdot 200} = \sqrt{(36 \cdot 2) \cdot (100 \cdot 2)} = \sqrt{36 \cdot 100 \cdot 2 \cdot 2} = \sqrt{36 \cdot 100 \cdot 4} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{100} \cdot \sqrt{4} = 6 \cdot 10 \cdot 2 = 120 \].

Ответ: 120

3) \( \sqrt{1,6 \cdot 14,4} \)

Представим десятичные дроби в виде обыкновенных:

\[ 1,6 = \frac{16}{10} \]

\[ 14,4 = \frac{144}{10} \]

Подставим:

\[ \sqrt{\frac{16}{10} \cdot \frac{144}{10}} = \sqrt{\frac{16 \cdot 144}{100}} = \frac{\sqrt{16} \cdot \sqrt{144}}{\sqrt{100}} = \frac{4 \cdot 12}{10} = \frac{48}{10} = 4,8 \].

Ответ: 4,8

4) \( \sqrt{1690 \cdot 6,4} \)

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной:

\[ 6,4 = \frac{64}{10} \]

Подставим:

\[ \sqrt{1690 \cdot \frac{64}{10}} = \sqrt{\frac{1690 \cdot 64}{10}} = \sqrt{169 \cdot 64} = \sqrt{169} \cdot \sqrt{64} = 13 \cdot 8 = 104 \].

Ответ: 104