93. Треугольник ABC — равнобедренный, AB = BC. На луче AC за точку C отложен отрезок CM, на луче CA за точку A отложен отрезок AK такой, что AK = CM. Докажите, что треугольник MBK равнобедренный.

Так как \(AB = BC\), треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\). Поэтому его углы при основании равны:

\(\angle BAC = \angle BCA\).

Точки \(K\) и \(M\) лежат на продолжениях стороны \(AC\) за точки \(A\) и \(C\) соответственно. Поэтому углы \(BAK\) и \(BCM\) являются дополнительными к равным углам \(BAC\) и \(BCA\). Следовательно:

\(\angle BAK = \angle BCM\).

Рассмотрим треугольники \(ABK\) и \(CBM\). В них:

1. \(AB = CB\) по условию;
2. \(AK = CM\) по условию;
3. \(\angle BAK = \angle BCM\).

Значит, треугольники \(ABK\) и \(CBM\) равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому соответствующие стороны равны:

\(BK = BM\).

Следовательно, треугольник \(MBK\) равнобедренный.

Ответ: \(BM = BK\).