938. Докажите, что если векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ равны, то середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают, то $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 938. Докажите, что если векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ равны, то середины отрезков $AD$ и $BC$…$ Фото задания

938. Докажите, что если векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ равны, то середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают, то $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.

Accepted Answer

Пусть $M$ и $N$ — середины отрезков $AD$ и $BC$ соответственно. Обозначим радиус-векторы точек через $\vec a,\vec b,\vec c,\vec d$.

Так как $M$ и $N$ — середины соответствующих отрезков, то $\vec m=\frac{\vec a+\vec d}{2}$, $\vec n=\frac{\vec b+\vec c}{2}$.

Если $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, то $\vec b-\vec a=\vec d-\vec c$, откуда $\vec a+\vec d=\vec b+\vec c$. Следовательно, $\vec m=\vec n$, то есть середины отрезков совпадают.

Обратно, если $M=N$, то $\vec a+\vec d=\vec b+\vec c$. Поэтому $\vec b-\vec a=\vec d-\vec c$, следовательно, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.

Ответ: утверждение и обратное утверждение доказаны.