95. Докажите, что дробь 3762/103-1 сократима.

Решение:

Чтобы доказать, что дробь \(\frac{3762}{103-1}\) сократима, нужно показать, что её числитель и знаменатель имеют общий делитель, отличный от 1.

Вычислим значение знаменателя: \(103 - 1 = 102\).

Теперь дробь имеет вид \(\frac{3762}{102}\).

Проверим, делится ли числитель \(3762\) на знаменатель \(102\).

\(3762 \div 102 = 36.88...\right)$$, значит, число \(102\) не является делителем \(3762\).

Проверим, имеют ли числа \(3762\) и \(102\) общие делители.

Число \(102\) — чётное, значит, делится на \(2\): \(102 = 2 \times 51\).

Число \(51\) делится на \(3\): \(51 = 3 \times 17\).

Значит, разложение числа \(102\) на простые множители: \(102 = 2 \times 3 \times 17\).

Теперь проверим, делятся ли \(3762\) на \(2\), \(3\) и \(17\).

\(3762\) — чётное число, значит, делится на \(2\): \(3762 \div 2 = 1881\).

Сумма цифр числа \(1881\) равна \(1+8+8+1 = 18\). \(18\) делится на \(3\), значит, \(1881\) делится на \(3\): \(1881 \div 3 = 627\).

Сумма цифр числа \(627\) равна \(6+2+7 = 15\). \(15\) делится на \(3\), значит, \(627\) делится на \(3\): \(627 \div 3 = 209\).

Проверим, делится ли \(209\) на \(17\).

\(209 \div 17 = 12.29...\right)$$, значит, \(209\) не делится на \(17\).

Однако, мы видим, что числитель \(3762\) делится на \(2\) и \(3\), а знаменатель \(102\) делится на \(2\) и \(3\). Следовательно, числа \(3762\) и \(102\) имеют общие делители \(2\), \(3\), \(2 \times 3 = 6\).

Следовательно, дробь \(\frac{3762}{102}\) сократима на \(6\).

\(3762 \div 6 = 627\).

\(102 \div 6 = 17\).

Полученная дробь \(\frac{627}{17}\).

Доказательство: Числитель \(3762\) и знаменатель \(102\) имеют общий делитель \(6\) (так как оба делятся на \(2\) и \(3\)). Следовательно, дробь \(\frac{3762}{103-1}\) сократима.

Ответ: Дробь сократима, так как числитель 3762 и знаменатель 102 имеют общие делители (например, 2, 3, 6).