96*. Треугольник ABC — равносторонний (рис. 134, а, б). Докажите, что треугольник MNK — равносторонний, если: а) MB = 2AM, NC = 2BN, AK = 2KC; б) AM = AB, CN = AC, BK = BC.

Обозначим длину стороны равностороннего треугольника ABC через a.

а) По условию точки M, N и K делят стороны в отношении 1:2: AM = BN = KC = a/3. Выберем координаты A(0; 0), C(a; 0), B(a/2; √3a/2). Тогда, учитывая расположение точек на рисунке, M(a/6; √3a/6), N(2a/3; √3a/3), K(2a/3; 0).

Вычислим длины сторон:

\(MN^2=(a/2)^2+(\sqrt{3}a/6)^2=a^2/3\).

\(NK^2=(\sqrt{3}a/3)^2=a^2/3\).

\(KM^2=(a/2)^2+(\sqrt{3}a/6)^2=a^2/3\).

Следовательно, MN = NK = KM, и треугольник MNK равносторонний.

б) Расположим точки, как на рисунке: M лежит на продолжении AB за A, N — на продолжении AC за C, K — на продолжении CB за B. Возьмём A(0; 0), C(a; 0), B(a/2; √3a/2). Из условий получаем M(−a/2; −√3a/2), N(2a; 0), K(0; √3a).

Тогда:

\(MN^2=(5a/2)^2+(\sqrt{3}a/2)^2=7a^2\).

\(NK^2=(2a)^2+(\sqrt{3}a)^2=7a^2\).

\(KM^2=(a/2)^2+(3\sqrt{3}a/2)^2=7a^2\).

Значит, MN = NK = KM, поэтому треугольник MNK равносторонний.