967. Представьте числа: a) 1/81, 1/27, 1/9, 1/3, 1, 3, 9, 27, 81 в виде степени с основанием 3; б) 100, 10, 1, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001 в виде степени с основанием 10.

Привет! Давай преобразуем эти числа в степени с заданными основаниями. Принцип тот же: ищем показатель степени, который при возведении основания даст нам нужное число.

Задание а) Представить числа в виде степени с основанием 3:

Сначала вспомним, как числа 81, 27, 9, 3 связаны со степенью тройки:

• $$81 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4$$
• $$27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3$$
• $$9 = 3 \times 3 = 3^2$$
• $$3 = 3^1$$
• $$1 = 3^0$$

Теперь используем правило отрицательного показателя степени для дробей:

• $$\frac{1}{3} = 3^{-1}$$
• $$\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$$
• $$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$$
• $$\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$$

Запишем всю последовательность по возрастанию показателей:

$$3^{-4}, 3^{-3}, 3^{-2}, 3^{-1}, 3^0, 3^1, 3^2, 3^3, 3^4$$

Задание б) Представить числа в виде степени с основанием 10:

Здесь все еще проще, потому что мы работаем с десятичными дробями и степенями десятки:

• $$100 = 10 \times 10 = 10^2$$
• $$10 = 10^1$$
• $$1 = 10^0$$
• $$0.1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$$
• $$0.01 = \frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$$
• $$0.001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}$$
• $$0.0001 = \frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4}$$

Запишем последовательность:

$$10^2, 10^1, 10^0, 10^{-1}, 10^{-2}, 10^{-3}, 10^{-4}$$

Ответ:

• а) $$3^{-4}, 3^{-3}, 3^{-2}, 3^{-1}, 3^0, 3^1, 3^2, 3^3, 3^4$$
• б) $$10^2, 10^1, 10^0, 10^{-1}, 10^{-2}, 10^{-3}, 10^{-4}$$