98. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. На стороне BC отмечены точки P и P₁ так, что AP = A₁P₁. Докажите, что △ABP = △A₁B₁P₁, а также, что △BPC = △B₁P₁C₁.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

△ABC = △A₁B₁C₁ по двум сторонам и углу между ними: AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. Поэтому BC = B₁C₁ и соответствующие углы этих треугольников равны.
Равенство треугольников ABC и A₁B₁C₁ задаёт соответствие точек B ↔ B₁ и C ↔ C₁ на сторонах BC и B₁C₁. Поскольку AP = A₁P₁, точки P и P₁ также соответствуют друг другу при этом равенстве. Поэтому AB = A₁B₁, AP = A₁P₁ и ∠BAP = ∠B₁A₁P₁; следовательно, △ABP = △A₁B₁P₁ по двум сторонам и углу между ними.
Из равенства △ABC и △A₁B₁C₁ следует ∠ABC = ∠A₁B₁C₁. Так как P лежит на BC, а P₁ — на B₁C₁, это же равенство даёт ∠PBC = ∠P₁B₁C₁. Кроме того, BP = B₁P₁ из равенства △ABP и △A₁B₁P₁, а BC = B₁C₁. Значит, △BPC = △B₁P₁C₁ по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: