99. Докажите, что тождественно равенство: а) $\frac{3}{a^2-3a}+\frac{a^2}{a-3}$ и $a+3+\frac{9a+3}{a^2-3a}$; б) $\frac{a^3}{a^2-4}-\frac{a}{a-2}-\frac{2}{a+2}$ и $a-1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 99. Докажите, что тождественно равенство: а) $\frac{3}{a^2-3a}+\frac{a^2}{a-3}$ и $a+3+\frac{9a+3}{a^2-3a}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) ОДЗ: $a\ne0$, $a\ne3$.

Приведём левую часть к общему знаменателю:

\[\frac{3}{a(a-3)}+\frac{a^2}{a-3}=\frac{3+a^3}{a(a-3)}.\]

Преобразуем правую часть:

\[a+3+\frac{9a+3}{a(a-3)}=\frac{(a+3)a(a-3)+9a+3}{a(a-3)}.\]

Так как $(a+3)a(a-3)+9a+3=a^3+3$, обе части равны $\frac{a^3+3}{a(a-3)}$.

б) ОДЗ: $a\ne2$, $a\ne-2$.

Приведём левую часть к знаменателю $(a-2)(a+2)=a^2-4$:

\[\frac{a^3-a(a+2)-2(a-2)}{a^2-4}=\frac{a^3-a^2-4a+4}{a^2-4}.\]

Числитель раскладывается:

\[a^3-a^2-4a+4=(a-1)(a^2-4).\]

Поэтому

\[\frac{(a-1)(a^2-4)}{a^2-4}=a-1.\]

Тождества доказаны.

99. Докажите, что тождественно равенство: а) \(\frac{3}{a^2-3a}+\frac{a^2}{a-3}\) и \(a+3+\frac{9a+3}{a^2-3a}\); б) \(\frac{a^3}{a^2-4}-\frac{a}{a-2}-\frac{2}{a+2}\) и \(a-1\).