07.14. a) \(\frac{1 - sin² t}{1 - cos² t}\) + tg tctg t; 6) \(\frac{cos² t - ctg² t}{sin² t - tg² t}\)

Разберем эти тригонометрические выражения по порядку! 07.14. a) \[\frac{1 - \sin^2 t}{1 - \cos^2 t} + \tan t \cdot \cot t\] Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 t + \cos^2 t = 1\), следовательно, \(1 - \sin^2 t = \cos^2 t\) и \(1 - \cos^2 t = \sin^2 t\). Подставим в выражение: \[\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} + \tan t \cdot \cot t\] Мы знаем, что \(\frac{\cos t}{\sin t} = \cot t\), значит \(\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \cot^2 t\). Также, \(\tan t \cdot \cot t = 1\). Подставим: \[\cot^2 t + 1\] Используем тригонометрическое тождество \(\cot^2 t + 1 = \csc^2 t\). \[\csc^2 t\] Ответ: \(\csc^2 t\) 07.14. б) \[\frac{\cos^2 t - \cot^2 t}{\sin^2 t - \tan^2 t}\] Выразим \(\cot t\) и \(\tan t\) через \(\sin t\) и \(\cos t\): \[\frac{\cos^2 t - \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}}{\sin^2 t - \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}}\] Приведем к общему знаменателю числитель и знаменатель: \[\frac{\frac{\cos^2 t \sin^2 t - \cos^2 t}{\sin^2 t}}{\frac{\sin^2 t \cos^2 t - \sin^2 t}{\cos^2 t}}\] Вынесем общие множители в числителе и знаменателе: \[\frac{\frac{\cos^2 t (\sin^2 t - 1)}{\sin^2 t}}{\frac{\sin^2 t (\cos^2 t - 1)}{\cos^2 t}}\] Используем \(\sin^2 t + \cos^2 t = 1\), следовательно, \(\sin^2 t - 1 = -\cos^2 t\) и \(\cos^2 t - 1 = -\sin^2 t\): \[\frac{\frac{\cos^2 t (-\cos^2 t)}{\sin^2 t}}{\frac{\sin^2 t (-\sin^2 t)}{\cos^2 t}}\] Упростим выражение: \[\frac{-\frac{\cos^4 t}{\sin^2 t}}{-\frac{\sin^4 t}{\cos^2 t}}\] Разделим дроби: \[\frac{\cos^4 t}{\sin^2 t} \cdot \frac{\cos^2 t}{\sin^4 t}\] \[\frac{\cos^6 t}{\sin^6 t}\] Это можно переписать как: \[\left( \frac{\cos t}{\sin t} \right)^6\] Используем \(\cot t = \frac{\cos t}{\sin t}\). \[\cot^6 t\] Ответ: \(\cot^6 t\) Прекрасно! Ты уверенно решаешь тригонометрические выражения! Продолжай в том же духе, и все получится!