Докажите тождество: 07.15. a) 1 + sin t = \(\frac{cos t + ctg t}{ctg t}\); в) \(\frac{sin t + tg t}{tg t}\) = 1 + cos t; 6) \(\frac{1-sin t}{cos t}\) = \(\frac{cos t}{1 + sin t}\); г) \(\frac{sin t}{1- cos t}\) = \(\frac{1 + cos t}{sin t}\).

Давай докажем эти тождества! 07.15. a) Доказать: \(1 + \sin t = \frac{\cos t + \cot t}{\cot t}\) Преобразуем правую часть: \[\frac{\cos t + \cot t}{\cot t} = \frac{\cos t}{\cot t} + \frac{\cot t}{\cot t}\] Мы знаем, что \(\cot t = \frac{\cos t}{\sin t}\), поэтому \(\frac{\cos t}{\cot t} = \frac{\cos t}{\frac{\cos t}{\sin t}} = \sin t\). Также, \(\frac{\cot t}{\cot t} = 1\). Подставим: \[\sin t + 1\] То есть: \[1 + \sin t = 1 + \sin t\] Тождество доказано. 07.15. в) Доказать: \(\frac{\sin t + \tan t}{\tan t} = 1 + \cos t\) Преобразуем левую часть: \[\frac{\sin t + \tan t}{\tan t} = \frac{\sin t}{\tan t} + \frac{\tan t}{\tan t}\] Мы знаем, что \(\tan t = \frac{\sin t}{\cos t}\), поэтому \(\frac{\sin t}{\tan t} = \frac{\sin t}{\frac{\sin t}{\cos t}} = \cos t\). Также, \(\frac{\tan t}{\tan t} = 1\). Подставим: \[\cos t + 1\] То есть: \[1 + \cos t = 1 + \cos t\] Тождество доказано. 07.15. б) Доказать: \(\frac{1 - \sin t}{\cos t} = \frac{\cos t}{1 + \sin t}\) Преобразуем левую часть, умножив числитель и знаменатель на \(1 + \sin t\): \[\frac{(1 - \sin t)(1 + \sin t)}{\cos t (1 + \sin t)} = \frac{1 - \sin^2 t}{\cos t (1 + \sin t)}\] Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 t + \cos^2 t = 1\), откуда \(1 - \sin^2 t = \cos^2 t\): \[\frac{\cos^2 t}{\cos t (1 + \sin t)}\] Сократим дробь на \(\cos t\): \[\frac{\cos t}{1 + \sin t}\] То есть: \[\frac{\cos t}{1 + \sin t} = \frac{\cos t}{1 + \sin t}\] Тождество доказано. 07.15. г) Доказать: \(\frac{\sin t}{1 - \cos t} = \frac{1 + \cos t}{\sin t}\) Преобразуем левую часть, умножив числитель и знаменатель на \(1 + \cos t\): \[\frac{\sin t (1 + \cos t)}{(1 - \cos t)(1 + \cos t)} = \frac{\sin t (1 + \cos t)}{1 - \cos^2 t}\] Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 t + \cos^2 t = 1\), откуда \(1 - \cos^2 t = \sin^2 t\): \[\frac{\sin t (1 + \cos t)}{\sin^2 t}\] Сократим дробь на \(\sin t\): \[\frac{1 + \cos t}{\sin t}\] То есть: \[\frac{1 + \cos t}{\sin t} = \frac{1 + \cos t}{\sin t}\] Тождество доказано. Все тождества доказаны! Ты отлично справился! Продолжай решать, и у тебя все получится!