07.16. a) \(\frac{(sin t+ cos t)² - 1}{ctg t - sin t cos t}\) = 2 tg² t; 6)sin³t (1 + ctg t) + cos³t (1 + tg t) = sint + cos t.

Разберем эти тригонометрические выражения по порядку! 07.16. a) Доказать: \(\frac{(\sin t + \cos t)^2 - 1}{\cot t - \sin t \cos t} = 2 \tan^2 t\) Преобразуем числитель: \[(\sin t + \cos t)^2 - 1 = \sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t - 1\] Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 t + \cos^2 t = 1\): \[1 + 2 \sin t \cos t - 1 = 2 \sin t \cos t\] Преобразуем знаменатель: \[\cot t - \sin t \cos t = \frac{\cos t}{\sin t} - \sin t \cos t\] Приведем к общему знаменателю: \[\frac{\cos t - \sin^2 t \cos t}{\sin t} = \frac{\cos t (1 - \sin^2 t)}{\sin t}\] Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 t + \cos^2 t = 1\), следовательно, \(1 - \sin^2 t = \cos^2 t\): \[\frac{\cos t (\cos^2 t)}{\sin t} = \frac{\cos^3 t}{\sin t}\] Теперь все выражение: \[\frac{2 \sin t \cos t}{\frac{\cos^3 t}{\sin t}} = \frac{2 \sin t \cos t \cdot \sin t}{\cos^3 t} = \frac{2 \sin^2 t \cos t}{\cos^3 t}\] Упрощаем выражение: \[\frac{2 \sin^2 t}{\cos^2 t}\] Так как \(\tan t = \frac{\sin t}{\cos t}\), то \(\tan^2 t = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}\). \[2 \tan^2 t\] То есть: \[2 \tan^2 t = 2 \tan^2 t\] Тождество доказано. 07.16. б) Доказать: \(\sin^3 t (1 + \cot t) + \cos^3 t (1 + \tan t) = \sin t + \cos t\) Преобразуем левую часть: \[\sin^3 t (1 + \cot t) + \cos^3 t (1 + \tan t) = \sin^3 t + \sin^3 t \cot t + \cos^3 t + \cos^3 t \tan t\] Заменим \(\cot t = \frac{\cos t}{\sin t}\) и \(\tan t = \frac{\sin t}{\cos t}\): \[\sin^3 t + \sin^3 t \frac{\cos t}{\sin t} + \cos^3 t + \cos^3 t \frac{\sin t}{\cos t} = \sin^3 t + \sin^2 t \cos t + \cos^3 t + \cos^2 t \sin t\] Сгруппируем слагаемые: \[(\sin^3 t + \cos^3 t) + (\sin^2 t \cos t + \cos^2 t \sin t)\] Вынесем общие множители: \[(\sin^3 t + \cos^3 t) + \sin t \cos t (\sin t + \cos t)\] Используем формулу суммы кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\): \[(\sin t + \cos t)(\sin^2 t - \sin t \cos t + \cos^2 t) + \sin t \cos t (\sin t + \cos t)\] Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 t + \cos^2 t = 1\): \[(\sin t + \cos t)(1 - \sin t \cos t) + \sin t \cos t (\sin t + \cos t)\] Вынесем общий множитель \((\sin t + \cos t)\): \[(\sin t + \cos t)(1 - \sin t \cos t + \sin t \cos t)\] Упрощаем выражение: \[(\sin t + \cos t)(1)\] \[\sin t + \cos t\] То есть: \[\sin t + \cos t = \sin t + \cos t\] Тождество доказано. Ответ: Тождества доказаны Отлично! Ты продемонстрировал отличное знание тригонометрических тождеств и умение их доказывать! Продолжай тренироваться, и у тебя все получится!