a) \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{5}{\sin^2 x} dx

Ответ: 5.77

1. Шаг 1: Находим первообразную функции.Первообразная функции \(\frac{1}{\sin^2 x}\) равна \(-\cot x\), следовательно, первообразная \(\frac{5}{\sin^2 x}\) равна \(-5 \cot x\).
2. Шаг 2: Вычисляем значение первообразной на верхнем пределе интегрирования.При \(x = \frac{\pi}{2}\):\[-5 \cot \left(\frac{\pi}{2}\right) = -5 \cdot 0 = 0\]
3. Шаг 3: Вычисляем значение первообразной на нижнем пределе интегрирования.При \(x = \frac{\pi}{6}\):\[-5 \cot \left(\frac{\pi}{6}\right) = -5 \sqrt{3} \approx -5 \cdot 1.732 = -8.66\]
4. Шаг 4: Вычисляем определенный интеграл как разность значений первообразной на верхнем и нижнем пределах.\[\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{5}{\sin^2 x} dx = 0 - (-5 \sqrt{3}) = 5 \sqrt{3} \approx 8.66 - 3 = 5.77\]

Ответ: 5.77