7. а) (2 балла) Докажите, что выражение а(а + 2) - (b + 2)(2 - b) + 6 положительно при любых значениях а и b. б) (2 балла) Какое наименьшее значение может принимать выражение a(a+2)(b+1)(1-b)?

а) Докажем, что a(a + 2) - (b + 2)(2 - b) + 6 > 0 при любых a и b

• Раскроем скобки: a² + 2a - (4 - b²) + 6
• Упростим выражение: a² + 2a - 4 + b² + 6 = a² + 2a + b² + 2
• Выделим полный квадрат: (a² + 2a + 1) + b² + 1 = (a + 1)² + b² + 1
• Так как (a + 1)² ≥ 0 и b² ≥ 0 при любых a и b, то (a + 1)² + b² + 1 > 0
• Следовательно, выражение a(a + 2) - (b + 2)(2 - b) + 6 всегда положительно.

б) Какое наименьшее значение может принимать выражение a(a + 2) - (b + 1)(1 - b)?

• Раскроем скобки: a² + 2a - (1 - b²) = a² + 2a - 1 + b²
• Выделим полный квадрат: (a² + 2a + 1) + b² - 2 = (a + 1)² + b² - 2
• Наименьшее значение (a + 1)² = 0 при a = -1, и b² = 0 при b = 0
• Тогда наименьшее значение выражения: 0 + 0 - 2 = -2
• Рассмотрим выражение a(a + 2) - (b + 1)(1 - b) = a(a + 2) + (b + 1)(b - 1) = a² + 2a + b² - 1 = (a + 1)² + b² - 2
• Наименьшее значение выражения достигается при a = -1 и b = 0
• Подставим значения: (-1 + 1)² + 0² - 2 = -2

Проверка:

• Выражение a(a + 2) - (b + 1)(1 - b) = a² + 2a + b² - 1
• Подставим a = -1 и b = 0: (-1)² + 2(-1) + 0² - 1 = 1 - 2 - 1 = -2