4. A(-4;7), B(16;22). Найти: а) координаты вектора АВ б) длину вектора АВ в) координаты середины отрезка АВ г) уравнение прямой АВ

Пошаговое решение:

a) Координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\) находятся вычитанием координат начала вектора из координат конца вектора:

\[\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (16 - (-4); 22 - 7) = (20; 15).\]

б) Длина вектора \(\overrightarrow{AB}\) находится по формуле:

\[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(16 - (-4))^2 + (22 - 7)^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25.\]

в) Координаты середины отрезка AB находятся по формуле:

\[M = (\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}) = (\frac{-4 + 16}{2}; \frac{7 + 22}{2}) = (\frac{12}{2}; \frac{29}{2}) = (6; 14.5).\]

г) Уравнение прямой AB имеет вид \(y = kx + b\). Подставим координаты точек A и B в это уравнение:

\[\begin{cases}7 = -4k + b \\ 22 = 16k + b\end{cases}\]

Вычтем из второго уравнения первое:

\[15 = 20k \Rightarrow k = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}.\]

Подставим значение k в первое уравнение:

\[7 = -4 \cdot \frac{3}{4} + b \Rightarrow 7 = -3 + b \Rightarrow b = 10.\]

Таким образом, уравнение прямой AB имеет вид:

\[y = \frac{3}{4}x + 10.\]

Ответ: а) \(\overrightarrow{AB}(20; 15)\); б) |\(\overrightarrow{AB}\)| = 25; в) M(6; 14.5); г) \(y = \frac{3}{4}x + 10\).