а) Дано: AC — биссектриса ∠A; AB = AD (рис. 1.11). Доказать: BC = CD. б) Дано: AD = DC, BD ⟂ AC (рис. 1.12). Доказать: AB = BC.

а) Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(ADC\).

1. \(AB = AD\) по условию.
2. \(AC\) — общая сторона.
3. Так как \(AC\) — биссектриса угла \(A\), то \(\angle BAC = \angle CAD\).

Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(ADC\) равны по двум сторонам и углу между ними (признак SAS). Поэтому соответствующие стороны равны:

\(\boxed{BC = CD}\).

б) Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABD\) и \(CBD\).

1. \(AD = DC\) по условию.
2. \(BD\) — общая сторона.
3. \(\angle ADB = \angle BDC = 90^\circ\), так как \(BD \perp AC\).

Следовательно, треугольники \(ABD\) и \(CBD\) равны по двум катетам. Значит, их гипотенузы равны:

\(\boxed{AB = BC}\).