a) \(\frac{\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 1 - \mathrm{tg}^2 \alpha\)

Доказательство тождества:

Начнём с левой части тождества:

\[ \frac{\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} \]\[ = \frac{(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)}{\cos^2 \alpha} \] (используем формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) и основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \))

Далее, используем \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \) и \( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos(2\alpha) \) но для простоты, оставим \( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \).

\[ = \frac{(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \cdot 1}{\cos^2 \alpha} \]\[ = \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \]\[ = 1 - \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^2 \]\[ = 1 - \mathrm{tg}^2 \alpha \]"

Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.