б) \(\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{(1+\sin 2\alpha)^2} = \frac{1-\mathrm{tg} \alpha}{1+\mathrm{tg} \alpha}\)

Доказательство тождества:

Начнём с левой части тождества:

\[ \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{(1+\sin 2\alpha)^2} \]\[ = \frac{\cos(2\alpha)}{(1+\sin 2\alpha)^2} \] (используем формулу косинуса двойного угла \( \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \))

Теперь рассмотрим правую часть и попытаемся привести её к более простому виду:

\[ \frac{1-\mathrm{tg} \alpha}{1+\mathrm{tg} \alpha} \]\[ = \frac{1-\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{1+\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} \]\[ = \frac{\frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha}} \]\[ = \frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha} \]\[ = \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha - \sin \alpha)}{(\cos \alpha + \sin \alpha)(\cos \alpha - \sin \alpha)} \]\[ = \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)^2}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} \]\[ = \frac{\cos^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} \]\[ = \frac{(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) - 2\sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} \]\[ = \frac{1 - \sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} \]"

Мы получили \( \frac{1 - \sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} \). Левая часть даёт \( \frac{\cos(2\alpha)}{(1+\sin 2\alpha)^2} \).

Проверим, что \( \cos(2\alpha) \cdot (1 + \sin(2\alpha))^2 \neq 1 - \sin(2\alpha) \cdot \cos(2\alpha) \).

Давайте проверим другую правую часть, которая была в задании: \( \frac{1-\mathrm{tg} \alpha}{1+\mathrm{tg} \alpha} \).

Возможно, в задании опечатка и правая часть должна быть \( \frac{1 - \sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} \)?

Давайте попробуем доказать, что \( \frac{1 - \sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \frac{1-\mathrm{tg} \alpha}{1+\mathrm{tg} \alpha} \).

Из предыдущих вычислений, мы знаем, что \( \frac{1-\mathrm{tg} \alpha}{1+\mathrm{tg} \alpha} = \frac{1 - \sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} \).

Теперь проверим левую часть \( \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{(1+\sin 2\alpha)^2} \).

Учитывая, что \( \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \), нам нужно проверить, верно ли:

\[ \frac{\cos(2\alpha)}{(1+\sin 2\alpha)^2} = \frac{1 - \sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} \]\[ \cos^2(2\alpha) = (1 - \sin(2\alpha))(1+\sin 2\alpha)^2 \]\[ \cos^2(2\alpha) = (1 - \sin(2\alpha))(1 + 2\sin(2\alpha) + \sin^2(2\alpha)) \]\[ \cos^2(2\alpha) = 1 + 2\sin(2\alpha) + \sin^2(2\alpha) - \sin(2\alpha) - 2\sin^2(2\alpha) - \sin^3(2\alpha) \]\[ \cos^2(2\alpha) = 1 + \sin(2\alpha) - \sin^2(2\alpha) - \sin^3(2\alpha) \]"

Это равенство не выполняется. Возможно, в задании есть опечатка.

Однако, если бы правая часть была \( \frac{1 - \sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} \), то тождество было бы верно.

Ответ: Тождество не выполняется в данном виде. Возможна опечатка в условии.