А10. Хорда АВ равна 38 см. ОА и ОВ - радиусы окружности, причем угол АОВ равен 90°. Найдите расстояние от точки О до хорды АВ. 1) 30,5 см 2) 26 см 3) 19 см 4) 12 см

Пусть О - центр окружности, АВ - хорда, ОА и ОВ - радиусы, угол АОВ = 90 градусов. Расстояние от точки О до хорды АВ - это перпендикуляр, опущенный из точки О на хорду АВ. Обозначим точку пересечения перпендикуляра и хорды как Н. Тогда ОН - искомое расстояние. Так как треугольник АОВ равнобедренный (ОА = ОВ = r) и угол АОВ = 90 градусов, то треугольник АОВ - прямоугольный и равнобедренный. Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу (ОН), является также медианой и биссектрисой. Значит, АН = НВ = АВ/2 = 38/2 = 19 см. Так как ОН - медиана, то она делит гипотенузу АВ пополам. Рассмотрим треугольник АОН. Он прямоугольный, так как ОН - высота. Угол АОН = 45 градусов (так как ОН - биссектриса угла АОВ). Тогда треугольник АОН - равнобедренный (угол ОАН = 45 градусов). Следовательно, ОН = АН = 19 см.
Ответ: 3) 19 см