a) \(\int\)_{-1}^{5} x^2 dx

Решение:

1. Используем формулу для интегрирования степенной функции: \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \).
2. В данном случае \( n = 2 \).
3. Находим неопределённый интеграл: \[ \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3} \]
4. Вычисляем определённый интеграл, подставляя пределы интегрирования: \[ \int_{-1}^{5} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{5} = \frac{5^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{125}{3} - \frac{-1}{3} = \frac{125 + 1}{3} = \frac{126}{3} \]
5. Упрощаем дробь: \( \frac{126}{3} = 42 \).

Ответ: 42