в) \(\int\)_{0}^{\(\pi\)} \(2\cos 2x + \sin x\) dx

Решение:

1. Интегрируем каждое слагаемое отдельно.
2. Интеграл от \( 2\cos 2x \): Используем подстановку \( u = 2x \), \( du = 2dx \). Тогда \( \int 2\cos 2x dx = \int \cos u du = \sin u = \sin 2x \).
3. Интеграл от \( \sin x \): \( \int \sin x dx = -\cos x \).
4. Находим неопределённый интеграл: \[ \int (2\cos 2x + \sin x) dx = \sin 2x - \cos x \]
5. Вычисляем определённый интеграл, подставляя пределы интегрирования: \[ \int_{0}^{\pi} (2\cos 2x + \sin x) dx = \left[ \sin 2x - \cos x \right]_{0}^{\pi} \]
6. Подставляем верхний предел \( x = \pi \): \( \sin(2\pi) - \cos(\pi) = 0 - (-1) = 1 \).
7. Подставляем нижний предел \( x = 0 \): \( \sin(2 \cdot 0) - \cos(0) = \sin(0) - \cos(0) = 0 - 1 = -1 \).
8. Вычитаем значение нижнего предела из значения верхнего предела: \( 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 \).

Ответ: 2