А4. На сторонах АВ, BC, CD и AD квадрата ABCD отмечены соответственно точки Р, М, Е и К так, что АР = BM = CE = DK = 3 см, ∠APK = 60°. Чему равен периметр четырехугольника РМЕК?

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о свойствах квадратов, треугольников и теорема Пифагора.

1. Найдем сторону квадрата ABCD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник APK. Из условия, ∠APK = 60°. Тогда ∠PAK = 90° - 60° = 30°. Известно, что AP = 3 см.

Сторона AK является прилежащим катетом к углу в 60°, и мы можем использовать тангенс угла для нахождения AK.

$$tg(60°) = \frac{AK}{AP}$$ $$AK = AP \cdot tg(60°) = 3 \cdot \sqrt{3} \approx 5.2 \text{ см}$$

Следовательно, сторона квадрата равна $$a = AK + KD = 3 \sqrt{3} + 3 \text{ см} \approx 8.2 \text{ см}$$.

2. Определим, является ли четырехугольник PM EK квадратом.

Поскольку AP = BM = CE = DK, а ABCD – квадрат, то AK = BP = CM = DE. Следовательно, треугольники APK, BPM, CME и DKE равны по двум катетам. Значит, PK = ME = EK = PM. Таким образом, PM EK – ромб.

Найдем длину PK по теореме Пифагора:

$$PK = \sqrt{AP^2 + AK^2} = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$$

Все стороны ромба PM EK равны, поэтому чтобы доказать, что ромб является квадратом, необходимо найти углы ромба.

∠APK = ∠BPM = ∠CME = ∠DKE = 60°.

∠KPM = 360° - (∠APK + ∠BPM + ∠CME + ∠DKE) = 360° - (60°+60°+60°+60°) = 360° - 240° = 120°

∠PME = 90°

Так как один из углов ромба равен 90°, то ромб PMEK является квадратом.

3. Вычислим периметр четырехугольника РМЕК.

Периметр квадрата PMEK равен сумме длин всех его сторон.

$$P = 4 \cdot PK = 4 \cdot 6 \text{ см} = 24 \text{ см}$$

Ответ: 3) 24 см