3A: Найдите площадь ромба, если его высота 12, а меньшая диагональ 13.

Для решения этой задачи нам понадобится связь между высотой ромба, его площадью и диагоналями. 1. Найдем сторону ромба. Пусть сторона ромба равна *а*. Меньшая диагональ делит ромб на два равных треугольника. Площадь ромба можно выразить как произведение стороны на высоту: $$S = a \cdot h$$, где $$h = 12$$. 2. Выразим площадь ромба через диагонали: $$S = \frac{1}{2}d_1 d_2$$, где $$d_1$$ и $$d_2$$ - диагонали ромба. В нашем случае $$d_1 = 13$$. 3. Найдем связь между диагоналями и стороной ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Пусть половина второй диагонали равна *x*, тогда вся диагональ равна 2*x*. Сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $$\frac{13}{2}$$ и *x*. Следовательно, $$a^2 = (\frac{13}{2})^2 + x^2$$. 4. Выразим площадь ромба двумя способами: $$S = a \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 2x = 13x$$, откуда $$a = \frac{13x}{12}$$. 5. Подставим выражение для *a* в уравнение $$a^2 = (\frac{13}{2})^2 + x^2$$: $$(\frac{13x}{12})^2 = (\frac{13}{2})^2 + x^2$$ \frac{169x^2}{144} = \frac{169}{4} + x^2 \frac{169x^2}{144} - x^2 = \frac{169}{4} \frac{25x^2}{144} = \frac{169}{4} x^2 = \frac{169 \cdot 144}{4 \cdot 25} x = \sqrt{\frac{169 \cdot 144}{100}} = \frac{13 \cdot 12}{10} = \frac{156}{10} = 15.6 Тогда $$d_2 = 2x = 2 \cdot 15.6 = 31.2$$. 6. Площадь ромба равна: $$S = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 31.2 = 13 \cdot 15.6 = 202.8$$. Ответ: 202.8