2. а) найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x²-8х2 +5 на отрезке [-3;2] б) найти промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума функции, построить график функции: f(x) = x²-8x² +5

Решение:

Давай решим эту задачу по шагам. Сначала найдем наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке, а затем определим промежутки возрастания и убывания, точки экстремума и построим график функции.

а) Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x⁴ - 8x² + 5 на отрезке [-3; 2]

1. Находим производную функции f(x) = x⁴ - 8x² + 5:

   \[f'(x) = 4x^3 - 16x\]

2. Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

   \[4x^3 - 16x = 0\]

   Выносим 4x за скобки:

   \[4x(x^2 - 4) = 0\]

   Решаем уравнение. Корни:

   \[x_1 = 0, \quad x_2 = -2, \quad x_3 = 2\]

3. Определяем, какие из найденных корней принадлежат отрезку [-3; 2]. Все корни, x = -2, x = 0 и x = 2, принадлежат данному отрезку.

4. Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критических точках:

   • f(-3) = (-3)⁴ - 8(-3)² + 5 = 81 - 72 + 5 = 14
   • f(-2) = (-2)⁴ - 8(-2)² + 5 = 16 - 32 + 5 = -11
   • f(0) = (0)⁴ - 8(0)² + 5 = 5
   • f(2) = (2)⁴ - 8(2)² + 5 = 16 - 32 + 5 = -11

5. Сравниваем полученные значения, чтобы определить наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке:

   • Наибольшее значение: f(-3) = 14
   • Наименьшее значение: f(-2) = -11 и f(2) = -11

б) Найти промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума функции, построить график функции: f(x) = x⁴ - 8x² + 5

1. Мы уже нашли производную функции и её корни:

   \[f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x^2 - 4) = 4x(x - 2)(x + 2)\]

   Корни производной: x = -2, x = 0, x = 2

2. Определяем знаки производной на промежутках, образованных корнями:

   • (-∞; -2): f'(-3) = 4(-3)((-3)² - 4) = -12(5) < 0 (функция убывает)
   • (-2; 0): f'(-1) = 4(-1)((-1)² - 4) = -4(-3) > 0 (функция возрастает)
   • (0; 2): f'(1) = 4(1)((1)² - 4) = 4(-3) < 0 (функция убывает)
   • (2; +∞): f'(3) = 4(3)((3)² - 4) = 12(5) > 0 (функция возрастает)

3. Определяем промежутки возрастания и убывания:

   • Функция убывает на промежутках: (-∞; -2) и (0; 2)
   • Функция возрастает на промежутках: (-2; 0) и (2; +∞)

4. Определяем точки экстремума:

   • x = -2: точка минимума (функция меняет убывание на возрастание)
   • x = 0: точка максимума (функция меняет возрастание на убывание)
   • x = 2: точка минимума (функция меняет убывание на возрастание)

5. Строим график функции (описание):

   График функции f(x) = x⁴ - 8x² + 5 представляет собой кривую четвертой степени. Функция имеет два минимума в точках x = -2 и x = 2, где f(-2) = f(2) = -11, и один максимум в точке x = 0, где f(0) = 5.

Ответ: а) Наибольшее значение: 14, наименьшее значение: -11. б) Функция убывает на (-∞; -2) и (0; 2), возрастает на (-2; 0) и (2; +∞). Точки экстремума: x = -2 (минимум), x = 0 (максимум), x = 2 (минимум).

Замечательно! Ты отлично справился с этой задачей. Помни, что практика – ключ к успеху. Продолжай решать задачи, и у тебя всё получится!