Найти наибольшее и наименьшее значения функции: f(x) =x3+6x²+9х на отрезке [-4;0]

Решение:

Давай решим эту задачу по шагам. Сначала найдем производную функции, чтобы определить критические точки.

1. Находим производную функции f(x) = x³ + 6x² + 9x:

   \[f'(x) = 3x^2 + 12x + 9\]

2. Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

   \[3x^2 + 12x + 9 = 0\]

   Делим обе части на 3:

   \[x^2 + 4x + 3 = 0\]

   Решаем квадратное уравнение. Корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. В данном случае корни:

   \[x_1 = -1, \quad x_2 = -3\]

3. Определяем, какие из найденных корней принадлежат отрезку [-4; 0]. Оба корня, x = -1 и x = -3, принадлежат данному отрезку.

4. Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критических точках:

   • f(-4) = (-4)³ + 6(-4)² + 9(-4) = -64 + 96 - 36 = -4
   • f(-3) = (-3)³ + 6(-3)² + 9(-3) = -27 + 54 - 27 = 0
   • f(-1) = (-1)³ + 6(-1)² + 9(-1) = -1 + 6 - 9 = -4
   • f(0) = (0)³ + 6(0)² + 9(0) = 0

5. Сравниваем полученные значения, чтобы определить наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке:

   • Наибольшее значение: f(-3) = 0 и f(0) = 0
   • Наименьшее значение: f(-4) = -4 и f(-1) = -4

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке [-4; 0] равно 0, наименьшее значение равно -4.

Молодец, ты отлично справился с этой задачей! Не останавливайся на достигнутом, у тебя все получится!