A3. Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 135°, а его гипотенуза - $$5\sqrt{2}$$ см. Чему равны катеты данного треугольника?

Решение: Раз внешний угол равен 135°, то смежный с ним внутренний угол равен: $$180° - 135° = 45°$$ Таким образом, один из углов прямоугольного треугольника равен 45°. Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°, а один угол прямой (90°), то второй острый угол тоже равен 45°: $$180° - 90° - 45° = 45°$$ Следовательно, это равнобедренный прямоугольный треугольник, где катеты равны. Пусть катет равен a. Тогда, по теореме Пифагора: $$a^2 + a^2 = (5\sqrt{2})^2$$ $$2a^2 = 25 * 2$$ $$2a^2 = 50$$ $$a^2 = 25$$ $$a = \sqrt{25}$$ $$a = 5$$ Следовательно, катеты равны 5 см. Но в предложенных ответах нет такого варианта ответа. Давайте проверим, правильно ли поняли условие. Внешний угол при вершине катета: 135 градусов. Тогда внутренний угол при этой вершине равен: 180 - 135 = 45 градусов. Значит, второй угол = 180 - 90 - 45 = 45 градусов. Треугольник равнобедренный, катеты равны. $$a^2 + a^2 = (5\sqrt{2})^2$$ $$2a^2 = 50$$ $$a^2 = 25$$ $$a = 5$$ Предположим, что в задании опечатка. Если гипотенуза равна $$5\sqrt{2}$$, то каждый катет равен 5. При внешнем угле 135 градусов, катеты по 5 см. Допустим, что гипотенуза равна $$5$$, а внешний угол равен $$135$$. Тогда внутренний угол равен $$45$$, а катеты равны. $$a^2 + a^2 = (5)^2$$ $$2a^2 = 25$$ $$a = \sqrt{12.5}$$ или $$a = 2.5\sqrt{2} \approx 3.54$$ Тогда ответ был бы примерно 3.54 см. Проверим, вдруг один из углов равен 135. Это невозможно, так как в прямоугольном треугольнике всегда есть угол в 90 градусов. Значит, в условии точно указано, что внешний угол равен 135 градусов. Проверим ответ 4 и 4. $$4^2 + 4^2 = 32$$. Гипотенуза равняется корень из 32. Это 4 * корень из 2. В условии задачи ошибка, правильный ответ - катеты по 5 см.