368. а) Основания равнобедренной трапеции равны 20 и 32, а боковая сторона равна 10. Найдите высоту трапеции. б) Основания равнобедренной трапеции равны 24 и 48, а боковая сторона равна 15. Найдите высоту трапеции. в) Основания равнобедренной трапеции равны 4 и 14, а боковая сторона равна 13. Найдите длину диагонали трапеции. г) Основания равнобедренной трапеции равны 50 и 104, а боковая сторона равна 45. Найди- те длину диагонали трапеции.

Решение:

a) Пусть \(ABCD\) - равнобедренная трапеция с основаниями \(BC = 20\) и \(AD = 32\), и боковой стороной \(AB = 10\). Проведём высоту \(BH\). Тогда \(AH = (AD - BC) / 2 = (32 - 20) / 2 = 6\). Из прямоугольного треугольника \(ABH\) по теореме Пифагора: \(BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\).

б) Пусть \(ABCD\) - равнобедренная трапеция с основаниями \(BC = 24\) и \(AD = 48\), и боковой стороной \(AB = 15\). Проведём высоту \(BH\). Тогда \(AH = (AD - BC) / 2 = (48 - 24) / 2 = 12\). Из прямоугольного треугольника \(ABH\) по теореме Пифагора: \(BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9\).

в) \(ABCD\) - равнобедренная трапеция, \(BC = 4\), \(AD = 14\), \(AB = CD = 13\). \(AC = BD\). \(AH = (AD - BC) / 2 = (14 - 4) / 2 = 5\). \(DH = AH + BC = 5 + 4 = 9\). Тогда \(AC^2 = AH \cdot AD + CD^2 = 5 \cdot 14 + 13^2 = 70 + 169 = 239\), \(AC = \sqrt{239} = 13\).

г) Проведём высоту \(BH\). Тогда \(AH = (AD - BC) / 2 = (104 - 50) / 2 = 27\). Из прямоугольного треугольника \(ABH\) по теореме Пифагора: \(BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{45^2 - 27^2} = \sqrt{2025 - 729} = \sqrt{1296} = 36\). \(HD = BC + AH = 50 + 27 = 77\). Тогда \(BD^2 = BH^2 + HD^2 = 36^2 + 77^2 = 1296 + 5929 = 7225\), \(BD = \sqrt{7225} = 85\), \(AC = BD = 63\).