299. а) Расстояние между пристанями А и В равно 70 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тот- час повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошёл 26 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Пусть x км/ч – скорость лодки в неподвижной воде.

Плот двигался по течению реки со скоростью 2 км/ч. Время, которое плот находился в пути, равно $$ \frac{26}{2} = 13 $$ часов.

Тогда лодка находилась в пути 13 – 1 = 12 часов.

Путь из A в B лодка проплыла по течению со скоростью (x + 2) км/ч, а обратный путь из B в A – против течения со скоростью (x – 2) км/ч.

Расстояние между пристанями A и B равно 70 км. Составим уравнение:

$$ \frac{70}{x + 2} + \frac{70}{x - 2} = 12 $$

Решим уравнение:

Умножим обе части уравнения на (x + 2)(x – 2), чтобы избавиться от знаменателей:

$$ 70(x - 2) + 70(x + 2) = 12(x^2 - 4) $$ $$ 70x - 140 + 70x + 140 = 12x^2 - 48 $$ $$ 140x = 12x^2 - 48 $$ $$ 12x^2 - 140x - 48 = 0 $$

Разделим уравнение на 4:

$$ 3x^2 - 35x - 12 = 0 $$

Решим квадратное уравнение:

Найдем дискриминант:

$$ D = (-35)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 1225 + 144 = 1369 $$

Найдем корни:

$$ x_1 = \frac{35 + \sqrt{1369}}{2 \cdot 3} = \frac{35 + 37}{6} = \frac{72}{6} = 12 $$ $$ x_2 = \frac{35 - \sqrt{1369}}{2 \cdot 3} = \frac{35 - 37}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} $$

Так как скорость не может быть отрицательной, то x = 12.

Значит, скорость лодки в неподвижной воде равна 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.