А2. Решите неравенство: a) x²-49>0; б) x² + 6x < 0; в) 2x²-x-6≤ 0; г) x²-6x+9≤0; д) \frac{x²}{5} + \frac{2x}{3} ≥ \frac{8}{15}.

a) x² - 49 > 0

Решим неравенство x² - 49 > 0.

Разложим левую часть на множители: (x - 7)(x + 7) > 0.

Найдем корни уравнения (x - 7)(x + 7) = 0: x = 7, x = -7.

Метод интервалов: рассмотрим интервалы (-∞, -7), (-7, 7), (7, +∞).

• На интервале (-∞, -7), например x = -8: (-8 - 7)(-8 + 7) = (-15)(-1) = 15 > 0.
• На интервале (-7, 7), например x = 0: (0 - 7)(0 + 7) = (-7)(7) = -49 < 0.
• На интервале (7, +∞), например x = 8: (8 - 7)(8 + 7) = (1)(15) = 15 > 0.

Таким образом, x² - 49 > 0 при x < -7 или x > 7.

Ответ: $$\left(-\infty; -7\right) \cup \left(7; +\infty\right)$$

б) x² + 6x < 0

Решим неравенство x² + 6x < 0.

Вынесем x за скобки: x(x + 6) < 0.

Найдем корни уравнения x(x + 6) = 0: x = 0, x = -6.

Метод интервалов: рассмотрим интервалы (-∞, -6), (-6, 0), (0, +∞).

• На интервале (-∞, -6), например x = -7: -7(-7 + 6) = -7(-1) = 7 > 0.
• На интервале (-6, 0), например x = -1: -1(-1 + 6) = -1(5) = -5 < 0.
• На интервале (0, +∞), например x = 1: 1(1 + 6) = 1(7) = 7 > 0.

Таким образом, x² + 6x < 0 при -6 < x < 0.

Ответ: $$(-6; 0)$$

в) 2x² - x - 6 ≤ 0

Решим неравенство 2x² - x - 6 ≤ 0.

Найдем корни уравнения 2x² - x - 6 = 0:

$$D = (-1)² - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$$

$$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2$$

$$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$$

Разложим на множители: 2(x - 2)(x + 1.5) ≤ 0.

Рассмотрим интервалы (-∞, -1.5), (-1.5, 2), (2, +∞).

• На интервале (-∞, -1.5), например x = -2: 2(-2 - 2)(-2 + 1.5) = 2(-4)(-0.5) = 4 > 0.
• На интервале (-1.5, 2), например x = 0: 2(0 - 2)(0 + 1.5) = 2(-2)(1.5) = -6 < 0.
• На интервале (2, +∞), например x = 3: 2(3 - 2)(3 + 1.5) = 2(1)(4.5) = 9 > 0.

Таким образом, 2x² - x - 6 ≤ 0 при -1.5 ≤ x ≤ 2.

Ответ: $$[-1.5; 2]$$

г) x² - 6x + 9 ≤ 0

Решим неравенство x² - 6x + 9 ≤ 0.

Заметим, что x² - 6x + 9 = (x - 3)².

Тогда (x - 3)² ≤ 0. Это возможно только при (x - 3)² = 0, т.е. x = 3.

Ответ: $$\left\{3\right\}$$

д) \frac{x²}{5} + \frac{2x}{3} ≥ \frac{8}{15}

Решим неравенство \frac{x²}{5} + \frac{2x}{3} ≥ \frac{8}{15}.

Умножим обе части на 15: 3x² + 10x ≥ 8.

Перенесем все в левую часть: 3x² + 10x - 8 ≥ 0.

Найдем корни уравнения 3x² + 10x - 8 = 0:

$$D = 10² - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196$$

$$x_1 = \frac{-10 + \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 + 14}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

$$x_2 = \frac{-10 - \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 - 14}{6} = \frac{-24}{6} = -4$$

Разложим на множители: 3(x - \frac{2}{3})(x + 4) ≥ 0.

Рассмотрим интервалы (-∞, -4), (-4, \frac{2}{3}), (\frac{2}{3}, +∞).

• На интервале (-∞, -4), например x = -5: 3(-5 - \frac{2}{3})(-5 + 4) = 3(-\frac{17}{3})(-1) = 17 > 0.
• На интервале (-4, \frac{2}{3}), например x = 0: 3(0 - \frac{2}{3})(0 + 4) = 3(-\frac{2}{3})(4) = -8 < 0.
• На интервале (\frac{2}{3}, +∞), например x = 1: 3(1 - \frac{2}{3})(1 + 4) = 3(\frac{1}{3})(5) = 5 > 0.

Таким образом, 3x² + 10x - 8 ≥ 0 при x ≤ -4 или x ≥ \frac{2}{3}.

Ответ: $$\left(-\infty; -4\right] \cup \left[\frac{2}{3}; +\infty\right)$$