В1. При каких значениях х имеет смысл выражение √x²+10x+16?

Выражение $$\sqrt{x^2+10x+16}$$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть

$$x^2+10x+16 \ge 0$$

Решим квадратное уравнение $$x^2+10x+16 = 0$$:

$$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36$$

$$x_1 = \frac{-10 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

$$x_2 = \frac{-10 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 6}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$

Рассмотрим интервалы, образованные корнями -8 и -2: $$(-\infty, -8], [-8, -2], [-2, +\infty)$$.

• При $$x = -9$$ (интервал $$(-\infty, -8]$$): $$(-9)^2 + 10 \cdot (-9) + 16 = 81 - 90 + 16 = 7 \ge 0$$ (верно).
• При $$x = -5$$ (интервал $$[-8, -2]$$): $$(-5)^2 + 10 \cdot (-5) + 16 = 25 - 50 + 16 = -9 \lt 0$$ (неверно).
• При $$x = 0$$ (интервал $$[-2, +\infty)$$): $$0^2 + 10 \cdot 0 + 16 = 16 \ge 0$$ (верно).

Итак, выражение $$\sqrt{x^2+10x+16}$$ имеет смысл, когда $$x \in (-\infty, -8] \cup [-2, +\infty)$$.

Ответ: $$\left(-\infty; -8\right] \cup \left[-2; +\infty\right)$$