А2. Решите неравенство: a) x² - 49 > 0; б) x² + 6x < 0; в) 2x²-x-6≤ 0; г) x²-6x+9≤0; д) x²/5 + 2x/3 ≥ 8/15.

a) $$x^2 - 49 > 0$$

$$x^2 > 49$$

$$x < -7$$ или $$x > 7$$

Ответ: $$(-\infty; -7) \cup (7; +\infty)$$.

б) $$x^2 + 6x < 0$$

$$x(x+6) < 0$$

Решим методом интервалов: $$x=0$$ и $$x=-6$$

      +            -            +
----(-6)--------(0)---------

$$x \in (-6; 0)$$

Ответ: $$x \in (-6; 0)$$.

в) $$2x^2 - x - 6 \le 0$$

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $$2x^2 - x - 6$$:

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$$

Найдем корни:

$$x_1 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1+7}{4} = 2$$

$$x_2 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1-7}{4} = -\frac{3}{2} = -1.5$$

$$2(x-2)(x+1.5) \le 0$$

      +            -            +
----(-1.5)--------(2)---------

$$x \in [-1.5; 2]$$

Ответ: $$x \in [-1.5; 2]$$.

г) $$x^2 - 6x + 9 \le 0$$

$$(x-3)^2 \le 0$$

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то неравенство выполняется только при $$x=3$$.

Ответ: $$x = 3$$.

д) $$\frac{x^2}{5} + \frac{2x}{3} \ge \frac{8}{15}$$

Умножим обе части неравенства на 15:

$$3x^2 + 10x \ge 8$$

$$3x^2 + 10x - 8 \ge 0$$

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $$3x^2 + 10x - 8$$:

$$D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196$$

Найдем корни:

$$x_1 = \frac{-10 + \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 + 14}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

$$x_2 = \frac{-10 - \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 - 14}{6} = -4$$

$$3(x-\frac{2}{3})(x+4) \ge 0$$

      +            -            +
----(-4)--------(2/3)---------

$$x \in (-\infty; -4] \cup [\frac{2}{3}; +\infty)$$.

Ответ: $$x \in (-\infty; -4] \cup [\frac{2}{3}; +\infty)$$.