13. a) Решите уравнение: (4 cos^3 x = sin(\frac{5\pi}{2} - x))

Для начала упростим правую часть уравнения, используя формулу приведения: \[\sin(\frac{5\pi}{2} - x) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2} - x) = \sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x\] Тогда уравнение принимает вид: \[4 \cos^3 x = \cos x\] Перенесем все в левую часть: \[4 \cos^3 x - \cos x = 0\] Вынесем \(\cos x\) за скобки: \[\cos x (4 \cos^2 x - 1) = 0\] Получаем два случая: 1) \(\cos x = 0\) \[x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] 2) \(4 \cos^2 x - 1 = 0\) \[4 \cos^2 x = 1\] \[\cos^2 x = \frac{1}{4}\] \[\cos x = \pm \frac{1}{2}\] а) \(\cos x = \frac{1}{2}\) \[x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\] б) \(\cos x = -\frac{1}{2}\) \[x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}\] **Ответ:** \[x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m, \quad n, k, m \in \mathbb{Z}\]