13 а) Решите уравнение 2cos(x+\frac{\pi}{4})+\sqrt{2}sinx = 2sin(x-\frac{\pi}{4})+\sqrt{2}cosx. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5\pi; -4\pi].

Решаем уравнение:

2cos(x + \frac{\pi}{4}) + \sqrt{2}sinx = 2sin(x - \frac{\pi}{4}) + \sqrt{2}cosx

Раскрываем скобки, используя формулы косинуса и синуса суммы и разности:

2(cosxcos\frac{\pi}{4} - sinxsin\frac{\pi}{4}) + \sqrt{2}sinx = 2(sinxcos\frac{\pi}{4} - cosxsin\frac{\pi}{4}) + \sqrt{2}cosx

Так как cos\frac{\pi}{4} = sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, получаем:

2(cosx\frac{\sqrt{2}}{2} - sinx\frac{\sqrt{2}}{2}) + \sqrt{2}sinx = 2(sinx\frac{\sqrt{2}}{2} - cosx\frac{\sqrt{2}}{2}) + \sqrt{2}cosx

\sqrt{2}cosx - \sqrt{2}sinx + \sqrt{2}sinx = \sqrt{2}sinx - \sqrt{2}cosx + \sqrt{2}cosx

\sqrt{2}cosx = \sqrt{2}sinx

cosx = sinx

tgx = 1

x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z

Ответ на пункт а):

x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z

Пункт б)

Нужно найти корни, принадлежащие отрезку [-5\pi; -4\pi].

-5\pi \le \frac{\pi}{4} + \pi n \le -4\pi

-5 \le \frac{1}{4} + n \le -4

-5 - \frac{1}{4} \le n \le -4 - \frac{1}{4}

-5.25 \le n \le -4.25

n = -5

x = \frac{\pi}{4} - 5\pi = \frac{\pi - 20\pi}{4} = -\frac{19\pi}{4}

Ответ на пункт б):

-\frac{19\pi}{4}