14 B цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания точки В, и С, причём ВВ образующая цилиндра, а отрезок АС, пересекает ось цилиндра. а) Докажите, что угол АВС, прямой. б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если АВ = 21, ВВ₁ = 13, B₁C₁ = 28.

Пункт a)

Т.к. образующая цилиндра перпендикулярна плоскости основания, то BB₁ перпендикулярна плоскости основания. Следовательно, BB₁ перпендикулярна AB и BB₁ перпендикулярна B₁C₁ .

Рассмотрим треугольник ABB₁. Он прямоугольный, так как угол ABB₁ прямой. Аналогично, треугольник B₁C₁B прямоугольный, так как угол BB₁C₁ прямой.

Т.к. отрезок AC₁ пересекает ось цилиндра, то точки A, B, C₁ лежат в одной плоскости. Угол ABC₁ опирается на диаметр окружности основания, следовательно, он прямой.

Пункт б)

Нам дано, что AB = 21, BB₁ = 13, B₁C₁ = 28.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле S = 2\pi Rh, где R - радиус основания, h - высота цилиндра.

В нашем случае высота цилиндра h = BB₁ = 13.

Радиус основания можно найти, используя тот факт, что угол ABC₁ прямой, и AB, B₁C₁ являются катетами прямоугольного треугольника ABC₁ . Тогда AC₁ - гипотенуза этого треугольника.

Т.к. ABC₁ прямой, то 2R = AC₁ (где R радиус основания)

Используя теорему Пифагора, можно найти AC₁:

AC₁² = AB² + B₁C₁²

AC₁² = 21² + 28² = 441 + 784 = 1225

AC₁ = \sqrt{1225} = 35

Тогда 2R = 35, значит R = \frac{35}{2} = 17.5

Площадь боковой поверхности цилиндра: S = 2\pi Rh = 2\pi * 17.5 * 13 = 455\pi

Ответ:

455\pi