а) Решите уравнение \(2\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=\cos x\). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[-\frac{3\pi}{2};0\right]\).

а) Используем тождество \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=-\cos x\). Тогда уравнение равносильно \(2\cos^2 x=\cos x\), то есть \(\cos x(2\cos x-1)=0\).

Отсюда либо \(\cos x=0\), либо \(\cos x=\frac12\).

В первом случае \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k\); во втором \(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) На промежутке \(\left[-\frac{3\pi}{2};0\right]\) из первого семейства получаем \(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\). Из второго семейства получаем \(-\frac{\pi}{3}\).

Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k\) или \(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\); б) \(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{3}\).