а) Решите уравнение \(6\cos^2 x-7\cos x-5=0\). б) Укажите корни, принадлежащие отрезку \([-\pi;2\pi]\).

а) Сделаем замену \(t=\cos x\). Получаем квадратное уравнение:

\(6t^2-7t-5=0\).

\(D=(-7)^2-4\cdot6\cdot(-5)=169\), поэтому \(t=\frac{7\pm13}{12}\). Корни: \(t=\frac53\) и \(t=-\frac12\). Поскольку \(|\cos x|\leq1\), значение \(\frac53\) невозможно. Значит, \(\cos x=-\frac12\).

Общее решение: \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\) или \(x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \([-\pi;2\pi]\) подходят значения \(x=-\frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\).

Ответ: а) \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\) или \(x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\); б) \(-\frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\).