а) Решите уравнение \(4\cos^4 x-4\cos^2 x+1=0\). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-2\pi; -\pi]\).

а) Заметим, что левая часть — полный квадрат:

\(4\cos^4 x-4\cos^2 x+1=(2\cos^2 x-1)^2\).

Тогда \((2\cos^2 x-1)^2=0\), откуда \(2\cos^2 x-1=0\), то есть \(\cos^2 x=\frac12\). Следовательно, \(\cos 2x=0\), поэтому \(2x=\frac{\pi}{2}+\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

Отсюда \(x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\), \(k\in\mathbb Z\).

б) Ограничим общий ответ отрезком: \(-2\pi\leq \frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\leq -\pi\). После деления на \(\pi\) и умножения на 4 получаем \(-8\leq 1+2k\leq -4\), поэтому \(-\frac92\leq k\leq -\frac52\). Целые значения: \(k=-4,-3\).

При \(k=-4\): \(x=-\frac{7\pi}{4}\). При \(k=-3\): \(x=-\frac{5\pi}{4}\).

Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb Z\); б) \(-\frac{7\pi}{4},-\frac{5\pi}{4}\).