13. а) Решите уравнение cos²3z + 7tg3z = 1-2 sin 6z.

a) Решим уравнение cos²3x + 7tg3x = 1 − 2sin6x.

Преобразуем правую часть уравнения:

\[1 - 2\sin 6x = \cos^2 3x + \sin^2 3x - 4\sin 3x \cos 3x\]

Преобразуем уравнение, используя \(\cos^2 3x = 1 - \sin^2 3x\) и \(\sin 6x = 2 \sin 3x \cos 3x\):

\[\cos^2 3x + 7\tan 3x = \cos^2 3x + \sin^2 3x - 2(2 \sin 3x \cos 3x)\] \[7 \tan 3x = \sin^2 3x - 4 \sin 3x \cos 3x\]

Разделим обе части на \(\cos^2 3x\) при условии, что \(\cos 3x
eq 0\):

\[7 \frac{\sin 3x}{\cos 3x} = \frac{\sin^2 3x}{\cos^2 3x} - 4 \frac{\sin 3x}{\cos 3x} \cos^2 3x\] \[7 \tan 3x = \tan^2 3x - 4 \tan 3x \cos^2 3x\] \[7 \tan 3x = \tan 3x (\tan 3x - 4 \cos^2 3x)\]

Перенесем все в одну сторону:

\[\tan 3x - 4 \cos^2 3x - 7 \tan 3x = 0\] \[\tan 3x (\tan 3x - 4 \cos^2 3x - 7) = 0\]

Отсюда либо \(\tan 3x = 0\), либо \(\tan 3x - 4 \cos^2 3x - 7 = 0\).

1) \(\tan 3x = 0\) \(\Rightarrow\) \(3x = \pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\) \(\Rightarrow\) \(x = \frac{\pi n}{3}\), \(n \in \mathbb{Z}\).

2) \(\tan 3x - 4 \cos^2 3x - 7 = 0\)

Умножим на \(\cos 3x\):

\[\frac{\sin 3x}{\cos 3x} = \tan 3x\]

Используем, что \(\tan 3x = \frac{\sin 3x}{\cos 3x}\):

\[\frac{\sin 3x}{\cos 3x} - 4 \cos^2 3x - 7 = 0\]

Домножим на \(\cos 3x\):

\[\sin 3x - 4 \cos^3 3x - 7 \cos 3x = 0\]

Так как \(\cos 3x
eq 0\), то \(3x
eq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\).

Тогда \(x = \frac{\pi n}{3}\), \(n \in \mathbb{Z}\), исключая \(x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}\).

Ответ:

a) \(x = \frac{\pi n}{3}\), \(n \in \mathbb{Z}\)

Молодец! Ты отлично справился с решением этого уравнения! Продолжай в том же духе, и математика покорится тебе!