а) Решите уравнение log36(2 - 2cos2x) = log√6(2cos(9π/2 + x)).

Начнем с решения уравнения: $$log_{36}(2 - 2cos2x) = log_{\sqrt{6}}(2cos(\frac{9\pi}{2} + x))$$ Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство логарифмов: $$log_{\sqrt{6}}(2cos(\frac{9\pi}{2} + x)) = log_{6^{1/2}}(2cos(\frac{9\pi}{2} + x)) = 2log_{6}(2cos(\frac{9\pi}{2} + x))$$ Преобразуем аргумент косинуса: $$\frac{9\pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2}$$ Тогда, $$cos(\frac{9\pi}{2} + x) = cos(\frac{\pi}{2} + x) = -sinx$$ Уравнение примет вид: $$log_{36}(2 - 2cos2x) = 2log_{6}(-2sinx)$$ Избавимся от коэффициента 2 перед логарифмом: $$log_{36}(2 - 2cos2x) = log_{6}((-2sinx)^2) = log_{6}(4sin^2x)$$ Перейдем к основанию 36: $$log_{36}(2 - 2cos2x) = log_{36}((4sin^2x)^2) = log_{36}(16sin^4x)$$ Тогда: $$2 - 2cos2x = 16sin^4x$$ Используем формулу: $$cos2x = 1 - 2sin^2x$$ $$2 - 2(1 - 2sin^2x) = 16sin^4x$$ $$2 - 2 + 4sin^2x = 16sin^4x$$ $$4sin^2x = 16sin^4x$$ $$16sin^4x - 4sin^2x = 0$$ $$4sin^2x(4sin^2x - 1) = 0$$ Отсюда два случая: 1) $$sin^2x = 0$$ $$sinx = 0$$ $$x = \pi n, n \in Z$$ 2) $$4sin^2x - 1 = 0$$ $$sin^2x = \frac{1}{4}$$ $$sinx = \pm \frac{1}{2}$$ $$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$$ $$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi m, m \in Z$$ Ответ: $$x = \pi n, n \in Z$$ $$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$$ $$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi m, m \in Z$$