а) Решите уравнение sin 2x = cos($$\frac{3\pi}{2}$$ + x). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\right]$$

а) Решим уравнение sin 2x = cos($$\frac{3\pi}{2}$$ + x).

Используем формулу приведения cos($$\frac{3\pi}{2}$$ + x) = sin x.

Тогда уравнение примет вид: sin 2x = sin x.

Перенесем sin x в левую часть: sin 2x - sin x = 0.

Используем формулу для разности синусов: 2 cos($$\frac{2x+x}{2}$$) sin($$\frac{2x-x}{2}$$) = 0.

2 cos($$\frac{3x}{2}$$) sin($$\frac{x}{2}$$) = 0.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

1) cos($$\frac{3x}{2}$$) = 0.

$$\frac{3x}{2}$$ = $$\frac{\pi}{2}$$ + $$\pi$$k, k $$\in$$ Z.

x = $$\frac{\pi}{3}$$ + $$\frac{2\pi}{3}$$k, k $$\in$$ Z.

2) sin($$\frac{x}{2}$$) = 0.

$$\frac{x}{2}$$ = $$\pi$$n, n $$\in$$ Z.

x = 2$$\pi$$n, n $$\in$$ Z.

б) Найдем корни, принадлежащие отрезку $$\left[\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\right]$$

1) x = $$\frac{\pi}{3}$$ + $$\frac{2\pi}{3}$$k.

При k = 2: x = $$\frac{\pi}{3}$$ + $$\frac{4\pi}{3}$$ = $$\frac{5\pi}{3}$$. Это значение принадлежит заданному отрезку, так как $$\frac{3\pi}{2}$$ = $$\frac{9\pi}{6}$$ < $$\frac{10\pi}{6}$$ = $$\frac{5\pi}{3}$$ < $$\frac{15\pi}{6}$$ = $$\frac{5\pi}{2}$$.

При k = 3: x = $$\frac{\pi}{3}$$ + $$\frac{6\pi}{3}$$ = $$\frac{7\pi}{3}$$. Это значение не принадлежит заданному отрезку, так как $$\frac{7\pi}{3}$$ = $$\frac{14\pi}{6}$$ > $$\frac{15\pi}{6}$$ = $$\frac{5\pi}{2}$$.

2) x = 2$$\pi$$n.

При n = 1: x = 2$$\pi$$. Это значение принадлежит заданному отрезку, так как $$\frac{3\pi}{2}$$ < 2$$\pi$$ < $$\frac{5\pi}{2}$$.

Ответ: а) $$\frac{\pi}{3}$$ + $$\frac{2\pi}{3}$$k, k $$\in$$ Z; 2$$\pi$$n, n $$\in$$ Z. б) $$\frac{5\pi}{3}$$; 2$$\pi$$