а) Решите уравнение 16sinx + 16sin(x+π) = 17. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{3π}{2}; 3π]

а) Решите уравнение $$16^{\sin x} + 16^{\sin(x+\pi)} = \frac{17}{4}$$.

$$16^{\sin x} + 16^{-\sin x} = \frac{17}{4}$$

Пусть $$t=16^{\sin x}$$ , $$t>0$$, тогда:

$$t + \frac{1}{t} = \frac{17}{4}$$

$$4t^2 + 4 = 17t$$

$$4t^2 -17t + 4 = 0$$

$$D = 289 - 64 = 225$$

$$t_1 = \frac{17+15}{8} = 4$$

$$t_2 = \frac{17-15}{8} = \frac{1}{4}$$

Тогда:

$$16^{\sin x} = 4 \implies \sin x = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z$$

$$16^{\sin x} = \frac{1}{4} \implies \sin x = -\frac{1}{2} \implies x = (-1)^n(-\frac{\pi}{6}) + \pi n, n \in Z$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[ \frac{3\pi}{2}; 3\pi \right]$$

$$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$$

$$n = 2: x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \in \left[ \frac{3\pi}{2}; 3\pi \right]$$

$$n = 3: x = -\frac{\pi}{6} + 3\pi = \frac{17\pi}{6} \in \left[ \frac{3\pi}{2}; 3\pi \right]$$

$$x = (-1)^n(-\frac{\pi}{6}) + \pi n$$

$$n = 2: x = -(-\frac{\pi}{6}) + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \in \left[ \frac{3\pi}{2}; 3\pi \right]$$

$$n = 3: x = -(-\frac{\pi}{6}) + 3\pi = \frac{19\pi}{6} \in \left[ \frac{3\pi}{2}; 3\pi \right]$$

Ответ: а) $$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, x = (-1)^n(-\frac{\pi}{6}) + \pi n, n \in Z$$; б) $$\frac{13\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}, \frac{19\pi}{6}$$