3. a) sin³ x – cos³ x = 1 + \frac{sin 2x}{2};

Используем формулу разности кубов: $$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$. Тогда уравнение примет вид:

$$(sin x - cos x)(sin^2 x + sin x cos x + cos^2 x) = 1 + \frac{sin 2x}{2}$$

$$(sin x - cos x)(1 + sin x cos x) = 1 + \frac{2 sin x cos x}{2}$$

$$(sin x - cos x)(1 + sin x cos x) = 1 + sin x cos x$$

$$(sin x - cos x)(1 + sin x cos x) - (1 + sin x cos x) = 0$$

$$(1 + sin x cos x)(sin x - cos x - 1) = 0$$

Тогда либо

$$1 + sin x cos x = 0$$

$$sin x cos x = -1$$

$$\frac{1}{2} sin 2x = -1$$

$$sin 2x = -2$$

Это невозможно, так как $$-1 \le sin 2x \le 1$$.

Либо

$$sin x - cos x - 1 = 0$$

$$sin x - cos x = 1$$

Разделим обе части уравнения на $$\sqrt{2}$$:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$cos \frac{\pi}{4} sin x - sin \frac{\pi}{4} cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z$$

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$$

Или

$$x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z$$

$$x = \pi + 2\pi k, k \in Z$$

Ответ: $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z; x = \pi + 2\pi k, k \in Z$$