А5. Сколько решений имеет система линейных уравнений? Определи без построения графика. a) {3x-y=6 (2x + 4y = 4; b) (3x + y = -2, 3x + y = 1; c) (4x + 2y = -6, 2x + y = -3.

Определим количество решений системы линейных уравнений без построения графика:

a) $$\begin{cases} 3x - y = 6 \\ 2x + 4y = 4 \end{cases}$$

Разделим второе уравнение на 2:$$\begin{cases} 3x - y = 6 \\ x + 2y = 2 \end{cases}$$

Выразим y из первого уравнения:$$y = 3x - 6$$

Подставим во второе уравнение:$$x + 2(3x - 6) = 2 \Rightarrow x + 6x - 12 = 2 \Rightarrow 7x = 14 \Rightarrow x = 2$$

$$y = 3(2) - 6 = 0$$

Система имеет одно решение.

b) $$\begin{cases} 3x + y = -2 \\ 3x + y = 1 \end{cases}$$

Вычтем из второго уравнения первое:$$0 = 3$$

Система не имеет решений.

c) $$\begin{cases} 4x + 2y = -6 \\ 2x + y = -3 \end{cases}$$

Умножим второе уравнение на 2:$$\begin{cases} 4x + 2y = -6 \\ 4x + 2y = -6 \end{cases}$$

Уравнения совпадают. Система имеет бесконечно много решений.

Ответ: a) одно решение, b) нет решений, c) бесконечно много решений