А4. Внутри треугольника АВС взята точка О, причем ∠BOC = ∠BOA, AO = OC, ∠CBA = 88°. Найдите величину угла АВО. 1) 22° 3) 88° 2) 46° 4) 44°

Внутри треугольника ABC точка O, ∠BOC = ∠BOA, AO = OC, ∠CBA = 88°. AO = OC, следовательно треугольник AOC - равнобедренный. ∠BOC = ∠BOA, значит BO - биссектриса угла AOC. Пусть ∠BOC = ∠BOA = x. Тогда ∠AOC = 2x. Сумма углов треугольника ABC равна 180°. Тогда ∠BAC + ∠BCA + ∠CBA = 180° Т.к. треугольник AOC равнобедренный, то углы при основании равны. ∠OAC = ∠OCA = (180 - 2x)/2 = 90 - x. Сумма углов вокруг точки O равна 360°. Следовательно, ∠BOC + ∠BOA + ∠AOC = 360°. x + x + 2x = 360. 4x = 360. x = 90. Тогда углы ∠BOC = ∠BOA = 90°, ∠AOC = 180° ∠BAC + ∠BCA + ∠CBA = 180° ⇒ (90 - x) + (90 - x) + 88 = 180° ⇒ (90-45) + (90 - 45) + 88 = 180°. ∠BAO = (90 - x), тогда ∠ABC = ∠ABO + ∠OBC = 88. Угол ∠ABO = (180 - 88)/2 = 46°

2) 46°

Ответ: 2) 46°